jawaban analisis real ~ PENDIDIKAN

Soal 1

(a). Contoh barisan konvergen yang tidak monoton: $x_n=(-1)^n \frac{1}{n}$ , dan masih banyak contoh-contoh yang lain.
(b). Contoh barisan yang konvergen dan monoton naik: $a_n= \frac{n}{n+1}$ , dan masih banyak contoh-contoh yang lain.
(c). Contoh barisan yang konvergen dan tidak terbatas, tidak ada.

Soal 2

Akan ditunjukkan $1\leq x_n<x_{n+1}<3$ .

Untuk $n=1$ , pernyataan tersebut benar. Misalkan pernyataan benar untuk $n=k$ , yaitu

$1 \leq x_k< x_{k+1}< 3$ $\cdots$ (#),

akan ditunjukkan pernyataan benar untuk $n=k+1$ .

Perhatikan semua ruas (#) dikalikan 3, maka

$3\leq 3x_k<3x_{k+1}<9$ .

Kemudian semua ruas ditarik akarkuadratnya, maka

$\sqrt{3}\leq \sqrt{3x_k}< \sqrt{3x_{k+1}}<3$ ,

atau menjadi

$1< \sqrt{3} \leq x_{k+1}<x_{k+2}<3$ .

Hal ini berarti barisan $x_n$ monoton naik dan terbatas, oleh karena itu $x_n$ konvergen. Misal $\lim x_n=x$ , maka

$\lim x_{n+1}=\sqrt{\lim x_n}$

$x^2=x$

sehingga x=0 atau x=3. Karena $1 \leq x_n <3$ , maka $\lim x_n=3$ .

Soal 3

Ambil $\epsilon >0$ sebarang. Pilih $N(\epsilon)> \frac{15}{2 \epsilon}$ , sehingga jika $m,n \geq N(\epsilon)$ , maka berlaku

$\vert \frac{3n}{2n+5}- \frac{3m}{2m+5} \vert < \epsilon$ .

Ini membuktikan bahwa barisan $x_n= \frac{3n}{2n+5}$ adalah barisan Cauchy.

Soal 4

Perhatikan bahwa

$x_n= \sqrt{4n+1}- \sqrt{2n+1}= \frac{2n}{\sqrt{4n+1}+ \sqrt{2n+1}}$

Pilih $y_n= \sqrt{n}$ , maka

$\lim \frac{x_n}{y_n}= \lim \frac{2n}{\sqrt{4n^{2}+n}+ \sqrt{2n^{2}+n}}= \frac{2}{2+ \sqrt{2}}>0$ .

Berdasarkan teorema 3.6.5 di hal 108 buku Bartle, maka $\lim (\sqrt{4n+1}- \sqrt{2n+1})=\infty$ .

Soal 5

Perhatikan bahwa

$\vert \frac{x^{2}-x+1}{x+1}- \frac{1}{2} \vert = \frac{|2x-1|}{2|x+1|}|x-1|$

Kita batasi $\vert x-1 \vert < 1$ , maka $\vert 2x-1 \vert < 3$ dan $\vert 2(x+1) \vert >2$ . Oleh karena itu,

$\frac{|2x-1|}{2|x+1|}< \frac{3}{2}$ .

Bukti formal, ambil $\epsilon>0$ sebarang, pilih $\delta< \min \{1, \frac{2 \epsilon}{3} \}$ , sehingga jika $x \in Domain$ dan $0<|x-1|< \delta$ , maka