Soal 1
(a). Contoh barisan konvergen yang tidak monoton: , dan masih banyak contoh-contoh yang lain.(b). Contoh barisan yang konvergen dan monoton naik: , dan masih banyak contoh-contoh yang lain.
(c). Contoh barisan yang konvergen dan tidak terbatas, tidak ada.
Soal 2
Akan ditunjukkan .
Untuk , pernyataan tersebut benar. Misalkan pernyataan benar untuk , yaitu
(#),
akan ditunjukkan pernyataan benar untuk .
Perhatikan semua ruas (#) dikalikan 3, maka
.
Kemudian semua ruas ditarik akarkuadratnya, maka
,
atau menjadi
.
Hal ini berarti barisan monoton naik dan terbatas, oleh karena itu konvergen. Misal , maka
sehingga x=0 atau x=3. Karena , maka .
Soal 3
Ambil sebarang. Pilih , sehingga jika , maka berlaku
.
Ini membuktikan bahwa barisan adalah barisan Cauchy.
Soal 4
Perhatikan bahwa
Pilih , maka
.
Berdasarkan teorema 3.6.5 di hal 108 buku Bartle, maka .
Soal 5
Perhatikan bahwa
Kita batasi , maka dan . Oleh karena itu,
.
Bukti formal, ambil sebarang, pilih , sehingga jika dan , maka
.
Ini membuktikan bahwa .
Soal 6
Ambil sebarang, pilih , sehingga jika dan , maka
.
Ini membuktikan bahwa .
0 komentar:
Posting Komentar